뉴턴이 수학을 원래 잘했던 것은
아니었어요. 대학에 갈 때까지
유클리드 원론을 공부하지 않았다고,
하니.. 기초적인 수준에 있었을거에요.
그런 그가 느닷없이 데카르트의 해석학을
독파하기 시작했어요. 혼자의 힘으로..
당시 데카르트의 이론을 이해할 만한
지성인이 거의 없던 시절이죠.
수십번을 보고 또보고, 엄청나게
반복해서 읽음으로 데카르트의 수학을
마스터할 수 있게 되었죠.
그런데 그는 더 나아가 미적분을
고안했는데, 그에 대한 그의 노트를
보면 어떤 과정을 거쳐 그가 미분을
깨달았는지 알 수 있어요.
요즘 우리가 미분을 배울 때 익히는
과정과는 사뭇 다른 것이죠.
그는 곡선의 기울기를 구하고 싶었어요.
직선의 기울기는 쉽게 구할 수 있지만,
곡선 위의 한 점에서의 기울기는
구하기 쉽지 않았죠.
그가 관심있게 봤던 것은 요즘 말로 하면
로그함수이거든요. 지수함수의 역함수..
흔히 보는 이차함수 그래프가 아니에요.
어찌되었든 점P에서의 기울기를 구하기
위해서 점P를 지나는 원을 그렸어요.
원점을 C로하는.. 그 원은 Q점도 지나는
큰 원이었는데.. 원의 크기를 좀 줄이면,
Q가 P와 일치하는 원을 그릴 수가 있지요.
원의 중심은 x축 위에 있어야 하고요.
P와 Q가 완전히 일치하는 원을
작도한 다음에는 점P에서 원의
반지름 PC와 수직인 직선을 작도할
수 있어요. 그럼 그것이 점 P에서의
기울기가 되는 것이죠. 이것은 기하학적으로
매우 명확한 모양을 갖는데.. 정확히
숫자로 표현할 수가 있느냐는 문제가 남지요.
그리고는 엄청난 실험과 계산을 한 것이죠.
작도를 하고, 그 결과 직관에 의해서
어떤 값을 갖는지 알아봤겠죠. 그리고는
아주 작은 구간의 변화를 손으로 계산하기를
반복했어요. 도대체 소수점 몇째자리까지
계산했는지.. 정말 깨알같아요.
이런 과정을 무수히 반복함으로써,
동일한 패턴에 의한 다는 것을 알고,
견고한 법칙을 만들었던 것이죠.
천재가 쓴 책을 보면.. 그가 했던
노력이 얼마나 대단했는지를 느낄
수가 있어요. 뉴턴도 저러했는데..
평범한 사람이 대충 눈으로 보고,
편의대로 이해했다고 말할 수는 없겠죠.
현대의 교육에서는 작도를 하지 않아요.
그럼으로써 직관과 상상력을 잃었어요.
수학적인 실험, 또 호기심을 잃었어요.
그리고 최초 어떤 개념을 발견한 천재들의
발자취를 따라가지 않아요.
그 어느 누가 로그 함수에 원을 그려가면서,
접선을 찾으려고 할까요?
고등학교 교실 수업은 물론 ebs 방송에서도
2차함수(곡선)의 접선은 그냥 주어지는 것,
또는 자를 이용해서 임의대로(눈대중)으로
그립니다. 그렇게 하면 기하학이 주는
기가막힌 일치를 느낄 수가 없어요.
개념에 대한 이해는 줄 수 있지만,
깊이 있는 깨달음은 줄 수가 없어요.
뉴턴이 접근한 방법이 정확하지는 않아요.
Q, P가 정확히 일치하는 지점이라고
확증할 수가 없으니까요. 그저 눈대중
이랄 수 밖에 없죠. 그러나 그것이
수학적으로 엄밀하지 않아 보이고,
오류로 보이더라도.. 그가 그 당시
지식으로는 그렇게 할 수 밖에 없었던..
나름이 이유가 있어요.
하지만 지금의 교과서는 과정상의
오류를 싣지 못하기 때문인지,
뉴턴의 발자취를 보여주지 않아요.
참 애석한 일입니다.
수없이 많은 문제를 풀 시간에,
천재들이 썼던 책을 읽어보면
좋을 텐데..
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뉴턴 아이슈타인은 그냥 물리학의 천재죠.
놔드리겠쑤// 그저 경이롭습니다..
진짜 수학교육은 안함..다른과목들은 과목을 시작하면 그 교과목의 역사를 가르쳐주고 시작하는데 수학은없음
그가 고안한 여러가지 이론으로 밥벌어먹고있는 입장에서 참 고마우면서 싫은 존재..ㅜㅜ 대학교때 참 괴롭..
수학 문제 풀이만 하고 있고 20년전 교육이랑 지금이랑 별 차이가 없는거 보고 놀램
천재의 책을 읽고 대부분일 것이 뻔한 범인들이 현타가 와서 다 놓아버리는 것을 방지하기 위함인지도 ㅋㅋㅋㅋ
좋은글 잘 봤습니다.
[리플수정]현재 우리가쓰는 미적분은 뉴턴의미적분이아니라 라이프니츠꺼죠.
"그럴시간에 공식하나 더외워"선생님들한테 질문할때 마다 들었던 말중하나죠.
심금을 울리는 글 잘읽었습니다
그건 어차피 외국에서도 똑같고 흔히 천재라고 하는 얘들은 알아서들 다 하죠. 그리고 뉴턴이 미분을 발견했다고 하기엔 뭐한 게 페르마가 다 해놨던 상태.. 동떨어져 있던 미분과 적분을 흔히 말하는 미적분으로 발전시켰다는 게 더 엄밀하게죠. 이것도 라이프니츠 쪽이 더 쉽지만
너땜에 내 십대가 암울했다
뉴턴의 노력이 느껴지는 계산 과정이네요. 대단합니다.
그런데... 이렇게 수학을 가르치면,
수포자가 더 많이 생길 겁니다. -_-;;
일부 수학에 적성이 있는 친구들은 더욱 흥미를 느끼겠지만.
아 문과하길 잘했어
본문에 답이 있네요. 고등교육과정은 개념을 알려주고 이해하게 하는게 목적이지 깊이 있는 깨달음이 목적이 아니에요. 심화과정은 대학교 전공 석사 박사에서 공부하는거죠. 중고등교육과정 6년동안 배워야 할게 얼마나 많은데요. 관심이 있거나 재능이 있는 학생들은 따로 보겠죠. 요즘 인터넷을 공부하기 좋잖아요.
전 세계에서 작도를 통해 공식을 증명하는 방식을 교육과정에 그나마 끼워넣고 심지어 학생들이 그걸 외우는 나라는 우리나라를 포함해 몇개국에 불과할 듯
미분은 이미 페르마가 거의다 정리해논거고 그걸 보고 데카르트가 책을 쓴거죠
경이로워요. 천재들의 삶은.. 잘 읽었습니다
고등학교 교실에서 Newton Raphson method를 처음 접하면서 글쓴분처럼 희열을 느끼시는분이 많을까요? 아님 뭔 소리냐고 관심없어하고 자는애들이 많을까요? 주입식으로 개념 알려주는게 기초교육에서는 훨씬 효과적입니다.
[리플수정]한가지 더 첨언하자면 뉴턴의 미분 발견은 공교롭게도 중세시대를 암흑으로 몰고 간 흑사병 여파 덕분입니다.
흑사병이 유럽에 퍼지자 당시 그가 다니던 대학도 몇년간 휴교에 들어가게 됐고
덕분에 뉴턴도 고향으로 돌아와서 충분히 사유하고 연구할 시간을 얻으면서 미분과 만유인력의 법칙을 내놓게 된.
물론 정상적으로 다녔다고 해서 발견못했을 거란 생각은 안들지만 시기적으로 더 늦어졌을 가능성이 있죠.
최근에 소수에 대한 책을 읽었는데 모든걸 작도해서 사유하는 것을 선호했던 그리스 수학이
0의 개념도 만들어내지 못하고 유클리드 원론 이상의 수준으로 나아가지 못했던 원인을
수에 대한 탐구가 부족한 때문이었다라고 분석하더군요
글쓴이가 말씀하신 부분은 다 맞지는 않아 보입니다
기초교육은 기초교육대로 하더라도. 관심을 가지는 분야를 파고들만한 시간은 필요한데.
그럴 여건도 시간도 없죠. -_- 머리 좋고 학업성취욕이 높은 아이들일수록 충분히 사고할 시간을 안줌.
반드시 수학만이 아니라 다른 문제에서도 동일한 해결과정을 가져야
더 높은 차원으로의 사고가 가능해지죠.
정말 좋은 글이네요
그런 건 대학에서 해도 충분함.
애들 더 자겠네요
이렇게 천재이신 분이 주식은 왜..
고등학교에서는 라이프니츠식으로가르치고 현대수학에서도 라이프니츠식으로 미분을 이해합니다
머리가 나빠서 수학을 못한걸 교육방식탓 하면 안되죠
이과생 : ㅂㄷㅂㄷ
헉 제가 쓴 게 아니고 펌글입니다;
이천년 넘게 인류가 쌓은 수학의 성취를 초중고 12년, 대학 대학원까지 해도 20년쯤만에 따라가려면 어쩔 수 없는 것 같기도...
제가 알기로는 적분이 먼저 발견됐고, 라이프니쯔가 더 나은방법으로 압니다. 당시 영국(뉴튼)이 독일(라이프니쯔)보다 강대국여서 미적분 발견한 공로가 뉴튼이라고 알려졌지만, 저는 라이프니쯔 손들어 주고 싶습니다. 그렇다고, 뉴튼을 폄하하는건 아니고요.
이 대단한 발견을 한 수학자, 물리학자라는 인간들은...
따지고 보면 진짜 미친 인간들입니다
머리 쓰는거에 미친 인간들 말이죠
어떤 인간은 연구하다가 머리에 '휴식'을 주고자 문학작품을 쓰고, 어떤 인간을 작곡을 했고...
어떤 인간은 머리의 혹사를 줄이기 위해 문자 해독학을 겸했고..
어떤 인간은 휴가를 떠나서 암호 해독을 하거나 고문자, 고문서 번역을 하거나 했죠...
지금 우리가 하는 게임, 노래등등 유희거리가 이 사람들은 머리 쓰는거였을거 같네요 ㅋㅋ
이런글은 추천 해야죠
깊이가 있는 글이네요. 수포자도 재밌게 읽었읍니다.
pernish // 지식인 자체가 유한계급이었기 때문에 지들이 다 해먹을 수 있는거죠. 좀 더 뛰어나면 다른 분야까지 하고.
저는 시험장에서 작도룰 했습니다...
네, 수포자였습니다.ㅋ
스크랩입니다. 감사합니다.
저당시에 미적분을 생각해냈다는 게 정말 대단합니다
경이롭네요
전체적으로 좀 이상하네요.
일단 첫 줄부터 뇌피셜이고...
미분 개념도 예전부터 있던 걸 페르마 및 당시 수학자들이 발전시켜가고 있었고,
심지어 기초적인 적분 개념인 구분구적법은 고대 문명에도 있었습니다.
미적분학 정립 시기도 라이프니츠와 거의 동일시기로
보아며, 위에 민트맛캔디님 말처럼 라이프니츠 쪽 개념과 표기가 더 쉬워서 지금은 그쪽 게 자리잡았어요.
그 외 뉴턴의 3법칙도 이미 갈릴레이 때부터 해서 물리학자들 사이에 알려진 개념이었고,
만유인력이 1/r^2 에 비례할 거란 거도 다들 예상하고 있었습니다.
진월인// 시험장작도 잘하면 최소 5점 프러스죠
뉴턴이 대단한 건 이렇게 조각조각 떠돌던 모든 개념을 한 데 모아서
몇 가지 법칙과 수학적 기법만으로 고전물리의 모든 문제를 풀 수 있단 걸 보여준 데 있습니다.
이게 인류 역사에서 가장 대단한 일인 것 중 하나는 맞는데, 무슨 뉴턴이 혼자서 백지에서 출발해서 완성시킨 게 아닙니다.
뉴턴이 한 말 중 가장 유명한 게 거인의 어깨 얘기잖아요.
문명이 발전할수록 요구되는 지식의 수준이 높아집니다..
현행 교육과정에서 댓글들에서 말하는 식의 교육이 될 수가 없는 게..
평범한 사람들이 기술사회에서 먹고살기 위해 갖춰야 할 것들이 많아서 이상적인 교육방식대로 교육을 해서는..
정규교육과정내에서 절대 따라잡을 수가 없기 때문입니다..
그리고 작도를 배워야 한다는 결론은 더더욱 이상한데...
히든피겨스 영화 보셨나요. 주인공이 손으로 미분방정식 푸는 게 영화의 주 내용이죠.
이공계 나오신 분들은 아시겠지만
저거 익숙해지면 정적분 암산도 오차범위 내에서 가능해지고
계산력과 감이 좋은 사람은 식 보자마자 특수해와 일반해를 짐작도 해요.
손으로 푸는 게 확실히 직관을 키우는 데 도움이 됩니다.
하지만 지금 시대에, 컴퓨터에 식 적어넣고 엔터 치면 정답 주고 그래프 그려주고 관련 이론 링크까지 주는 이 시대에, 굳이 그걸 해야 할까요.
전 아니라고 생각합니다
[리플수정]작도는 수백년 전에나 쓰이던 기법입니다.
물론 중학교 때 지능발달 측면에서 (개별적으로) 평면기하를 접하는 게 좋다고는 생각하지만,
정규과정에서 그걸 늘여야 하는지는 매우 의문입니다.
이과 좀 망했으면...
물론 천재들이 노력도 했겠지만 남들을 초월하는 직관력과 상상력을 바탕으로 깔고가서 저런 사고가 가능했던것도 있죠....글 잘 읽었습니다.
고등학교 수학에서 가장 어이없는 사례중 하나.
말도 안되게 어렵게 출제해서 평균점수 20~30점대..
나름 열심히 공부한 애들 아무리 풀려해도 힘들어서 20점대 맞는데
공부 하나 안한 놈들 막 찍어서 20점대.. 심지어 30점 이상도 맞음.
이래놓고는 변별력 갖기 위해 어렵게 냈다고 하는 교사놈들이 적지 않네요
[리플수정]월시챔프//애초에 변별력이란건 최상위권 몇명만 골라면 되는겁니다.
[리플수정]월시챔프//변별력만 생각하면 평범한 사람은 노력으로 풀수없는 문제로 내는게 맞죠. 나머지는 적당히 노력하면 할수있는만큼 하는거구요
아 뭔가 아름답네요.
대학교와서 기초수학인가 기본수학인가에서 뉴턴식 미적분 첨배웠는데
뭔가 어렵긴하더군요 ㅋㅋ
사실상 무에서 유를 만든다는게 참 어려운듯
아름답군요. 그리고 문송합니다.
수학보다 언어적 표현이 이야기인데요
p와q가 일치하는 점 보다 곡선에 접하는 원이라는 말이 이해가 더 쉽지 않나요? 아니면 접한다는 말이 더 어려운 건지
당시는 접한다는 말을 잘 안쓴건지
저는 원리에 대한 이해가 암기에 선행되어야 한다는 입장입니다. 결국 고등교육과정에서 우리나라가 뒤쳐지는 중요한 이유중 하나가 원리에 대한 이해를 등한시했기 때문이라고 봐요..
[리플수정]그냥 뉴턴은 시대를 거스른 천재다라는 것으로 결론지읍시다
멘붕//
문과 드립 치시는 분들은 학교때 공부 안하셨나봐요
문과도 미적분 배우고 좋은 대학은 대개 수학점수가
중요한데 수포자 출신들인듯
아 그런거였군요
수학하는 사람들 자체가 경이로움;;
나 국영사회과목 항상 만점이었는데;;
수학은 수능때 울 학교 꼴찌함;;
언어 118 영어 76 수학 14 ㅂㄷㅂㄷ ㅡㅡ 지방대생 ㅜㅜ
뿐만아니라 인터넷생기고나서 생활전반에서 답만찾는 게 당연해진거같아요 취직도 공부도 인터넷에서 찾아서 좋다는거만 하니 비슷한길로 가는거같아요 7~80년대는 그런게없으 맨땅서 굴러서 하나하나 해보는게 일상이였는데
뉴턴은 인류 역사상 천재라고 인정하지만 미적분은 라이프니츠가 발명했다고 생각합니다
더 직관적이고 합리적
좋은 사람의 좋은 일화를 가지고 결론이 헛소리네요
이글보고 아! 그랬구나! 하시면 안됩니다.
그럼 그당시 교육이 그래서 뉴튼같은 수학자가 트럭으로 있었나봐요?
현시대 수학 관련 석박들은 미친듯이 연구하고 이론을 찾고있는데 그들의 노력을 무시하는 글입니다
내가 수학못해서 좋은 대학 못감..
수학에 투자한 시간은 많은데 맨날 성적은 안나옴..
수학 원망스럽네요 ㅠㅠ
라이프니츠 ㅠㅠ
하지마 주식은 ......
와 글 읽고 감탄해서 로긴하고 추천드립니다
그래서 수학에 흥미를 잃고 있는 학생들이 많다고 생각합니다.
근본적인건 건너뛰고 답을 찾는 방법만 알려주니 의미도 없고 재미도 없어지고
수학 싫어했는데 성적내려고 죽도록 외우다시피 공부해서 입시당시 1등급 성적이었는데요... 한국수학은 암기과목처럼 공부해도 점수가 나오는 시험이었어요. 요즘은 어떨지 모르지만...
수학머리 없는데 이과반 가서 수능은 덕봤습니다. 수2에 미적분이 난이도가 높아서 응용문제가 별로 안나와서 오히려 응용많은 공통수학보다 점수가 더 잘나오더군요.
[리플수정]학교에서 근본적인 걸 건너뛰었을 리가 없는데요...
교과서에만 봐도 원리가 빠져있는 경우는 없습니다.
그리고 외국이라고 다를까요.
애초에 우리나라 교과서가 미국과 일본 걸 베끼다시피 해서 만든 건데요.
로그라고 하니... 얼마 전 나무위키의 로가리듬 항목 보는데 초기의 로그 모습은 우리가 아는 지수함수의 역함수가 아니더군요. 그걸 오일러가 지수함수와의 연관성을 찾아내고 역함수로 정리했다고 하는데 초기 정의는 '뭔 소리야...' 싶을 정도.
ㄷㄷㄷ
가만히 있어야겠다
입이 떡 벌어지네요..
대학때 죽어라고 외우기만 했던 퓨리에 트랜스폼
딱 외운 패턴 하나만 알고 조금만 응용하면 덮어버렸는데
유투브에서 원리를 이해하기 쉽게 설명한 동영상 하나 보고 10년이 지나서야 이해했습니다.
우리나라 수학교육은 정말 초-중-고-대 할 것 없이 싹 바꿔야 됩니다.
원리 빠진경우가 왜없어요 흔히 e라고 불리우는 자연상수있죠 전 그게 왜 그렇게 불리는지 왜 그리 중요한지 궁금했지만 그거 알려주는선생도 교과서도 하나도 못봄. 어렵다고 복잡하다고 후려치는거
제가 수알못이라 그런데요.미분, 적분은 왜 만들어졌으며 어디에 쓸 수 있는 건가요? 읽어도 잘 모르겠네요ㅠ
뉴턴의 노력이 아름답네요.
[리플수정]엘로코 // 학부 과정이 너무 불친절하단 건 동의하는데
사실 그건 전공자의 영역이고 교양이 아니라서 초급 교육과정에 대해 논하기는 적절하지 않은 것 같습니다.
초중고 과정은 그렇게 불친절하지 않거든요.
이겨라좀 // 고등학교에서 자연상수에 대해 자세히 안 알려주는 건 어쩔 수 없죠.
상위개념이니까요.
중학교에서 무리수에 대해 깊게 가르치지 않거나 고등학교에서 엡실론-델타를 가르치지 않는 것과 마찬가지죠.
안 한다기보단 못 하는 거.
와...이거 어디서 부터 잘못된건지..오해가 많으시네요..
교육과정이 단순히 외우라고 시키지도 않고
학원선생도 외우면 망한다고 가르치고
실재로 외우면 망합니다
뭔가 아름답고 낭만적이네요.
미적분이라는 게... 처음 접하게 되는 고등학교 때는 사실 어리둥절하죠... 이거 왜 하나 싶기도 하고... 교육과정에서 왜 이렇게 큰 부분을 차지하고 있나 싶기도 하고...
제가 공대 출신이라 그런지 모르겠지만, 미적분학이란 건 참 대단하고 아름답다는 거... ㅎㅎ
1+1=2 이것도 결국 미적분을 이해하기 위한 과정이라고 한다면 좀 오버인가요?
다시 젊어진다면 미적분 배우는 순간순간이 참 감동일텐데 아쉽습니다.
재밌네요
휴... 아 그래 나는 문과야...
스쿼드// 맞음 감수성 터지는 사춘기떄 미분, 적분의 깊은 뜻을 깨우치고 저 단순한 기호하나로 세상 모든 이치를 표현할 수 있는 줄 알았으면 정말 세상을 보는 눈이 달라졌을 텐데 아쉽네요.
제가 학창시절 수학을 꼴찌했던 이유가 바로 이런점 때문이었습니다.
공식을 이해하기 위해 원리를 곰곰히 고증해보고 싶어도 당시의 교육제도는 Why라는 의문을 가질만한 시간적 여유를 제공하지 않았습니다.
학문을 학문으로 접근할 수 없는.
오직 점수 획득만을 위한 문제풀이 기계로 전락할 수밖에 없었던 환경이 수학을 멀리하게 만들었습니다.
이상 근의공식이 뭔지도 모르는 수포자의 핑계였습니다.
(늙으니까 수학이 보이는 기이한 현상이라니..)
수포자 이지만 이런글을 읽게 해주셔서 감사합니다
우리나라 수학이 문제는 아니에요
수학 교육은 어딜가던 똑같아요
아름답게 설명해주는 방법이 좋은 분도 있겠지만 대다수의 사람에겐 현재의 표준화된 교육이 와닿습니다
참고로 미분을 기울기로 가르치는게 가장 안좋은 교육 중 하나라 생각하고 실제로 수학과 대다수는 그렇게 생각합니다
[리플수정]글의 핵심은 뉴턴이 미분 발견자라는 게 아니라 천재의 접근법에서 보이는 피나는 노력의 과정과 성실에 대해 깊게 성찰하지 못하고 결과 외우기에 급급한 현실 수학 과정에 대한 안타까움이죠. 미국에 수학 못하는 애들이 많은 것과 별개로 미국 교과서들의 수학적 개념 설명은 상당히 놀랍습니다. 그래서 더 깊이 생각하는 천재들이 나오고 그런 환경이 되는 것일지도.
좋은 이야기인데, 그 과정을 다 가르치면 망하죠. 자동차운전에 차동기어 뭐 이런거 몰라도 되는것마냥 수학천재들이 만들어놓은 수학을 모두 따라할순 없고, 따라해서도 안되죠. 보통사람은 보통의 이해정도만 해도 됩니다. 그래서 교과서가 넣고빼고 하는겁니다.
그리고, 저런 과정이 '수학'은 아닙니다. 같은 수학활동을 해도 받아들이는게 달라요. 그래서 저래해봤자 안되서 지금은 저렇게 안하는거죠.
세인트찰스 // 글에 뉴턴의 천재성은 나와있으나 현 커리큘럼의 문제는 안 나와있어서 잘 매치가 안 되네요.
글에서처럼 작도를 깊게 안 다룬다... 이런 건 전혀 문제점이 아니라고 보고요.
커리큘럼이 외우기에 급급하다는 예시를 보여주실 수 있나요.
그리고 미국 교과서의 어떤 부분이 개념 설명이 놀라운가요.
IB 과외도 해봤지만 딱히 미국 교과서가 엄청 낫다는 생각이 들진 않았어서요.
애초에 한국 교과서가 미국과 일본 걸 베끼면서 발전해온 거라 거의 비슷할걸요.
문송합니다ㅜㅠ