아래의 Moving Gif 그림파일이 본 게시물의 게시목적이라고 할 수 있습니다만 어찌어찌 글을 작성하다보니 헛소리(?)와 함께 스크롤만 과도하게 길어진 감이 없지 않습니다. 이 Moving Gif 파일을 왜 만들어서 올렸을까 궁금하지 않으신 분은 뒤로 가기를 누르셔서 시간 낭비를 회피하시기 권합니다;;
동기 부여 게시물 1 : 저한테 이 정도의 머리가 있어야 했었어요. (https://todayhumor.com/?bestofbest_346348)
동기 부여 게시물 2 : 오늘부터 이 형한테 과외받아야지 (https://todayhumor.com/?bestofbest_346776)
첫 번째 게시물에서의 여러 댓글 중 상당 수의 댓글에 나는 '직관'으로 문제를 잘만 풀었는데 쓸데없이(?) '풀이 과정의 절차'를 밝히라는 요구가
납득되지 않았고 그 때문에 어느새인가 수학이 싫어졌다는 내용이 있었습니다. 상당히 안타까운 내용의 댓글들이라고 생각합니다.
어째서 이런 현상이 줄곧 발생해왔고, 발생 중이며, 앞으로도 꾸준히 발생하게 될 것이 뻔해보이는 것일까요?
우수한 '학생'과 일반적인 '교사'의 조합에서 종종 일어날 법한 현상이라고 판단되는 이러한 상황을 해소시킬 방법은 없는 것일까요?
개인으로서의 견해가 없는 것은 아니지만, 명확히 정리되지도 않았고 그것을 제 힘으로 해결할 수 있는 것도 아니기에
이 부분에 대해서는 그냥 넘어가도록 하겠습니다.
제가 '현직'이 아닌 '전직' 학원 수학강사인 이유 중 하나로군요. 참으로 슬프고도 안타깝네요. ㅎㅎ
(넋두리 한 번 해봤으니 그러려니 해 주시면 되겠습니다;;)
각설하고 본론으로 들어가겠습니다.
과연 '직관'이란 무엇이고, 대체 '수학'과 '산수'의 차이가 무엇이기에 이런 일이 벌어지는 것일까요?
'직관'이란 무엇인가? 에 대한 물음은 수긍이 되는데, 뜬금없이 '수학'과 '산수'의 차이를 왜 짚어보냐? 고 생각하실 분들이 있을 것으로 보입니다.
'수학'과 '산수'의 차이란 과연 무엇일까요?
제가 학원 '수학'선생이었던 것은 사실이지만, 안타깝게도 '수학'혹은 '수학교육'전공이 아닌 것 역시사실이므로
섣불리 답을 하지는 못하겠군요. 이후에 달리게 될 댓글에 전공자 분들의 답을 기대해보는 것이 좋아보입니다.
다만 말을 꺼낸 장본인이 두 번 씩이나 견해의 피력을 회피할 정도로 뻔뻔하지는 못하기에 '부족'하거나 '잘못 되어' 있을지도 모를
저의 생각을 '예시'를 통해 밝혀볼까 합니다.
산수 : 길동이가 끌고온 소 와 둘리가 잡아온 닭의 머리 수의 합은 10이고 다리 수의 합은 28이면 소와 닭은 각각 몇 마리일까?
:(직접 소와 말을 끌고와서 셈 해보며 노가다를 뛰든 머리를 굴려서 재주껏 풀어내든 특정 상황의 답을 구하는 과정)
수학 : 위와 같이 연립방정식이라 불리우는 상황 중 구체적 한 가지 사례에만 적용되는 것이 아니라 모든 경우에 맞대응할 수 있는
::해결책을 끌어내어 얻어진 2원 1차 연립방정식의 해법 정립 (가감법, 대입법, 등치법 등) 및 특수한 상황 (계수 및 상수의 비가
::모두 일치하는 무수히 많은 해답이 존재하는 부정 및 계수의 비만 일치하여 정답이 전혀 없는 불능) 의 존재 가능성과 그러한
::이유의 분석 (연립방정식의 그래프가 일치 / 평행) 까지 포함한 연립방정식 체계의 완성
::또한 그 이후의 확장 (미지수가 2개이고 독립 변수가 모두 1차라 2원 1차 연립방정식이니까 미지수가 3개, 4개인 경우라면? 등등)
저의 졸렬한 예시가 마음에 조금 와닿으셨을까요? 중2 정도의 학생들도 조금은 납득할 수 있을 정도로 내려가려고 연립방정식을
예시로 들었습니다만… 쉽게 말해서 수학 교과서의 어떤 단원이든 '이론'에 관한 부분은 '수학'이고 실전인 '문제 풀이'는 '산수'라 생각하면
되리라고 봅니다.
그저 그 '산수'라는 것이 1+2=3 정도의 사칙연산 급의 '상식적인 산수'인지 아니면
함수 ＠§※를 △에서 □까지 정적분 하시오. 급의 '고도의 산수'인지의 차이겠지요.
요약하자면, '대상(수 혹은 도형)을 다루는 이론의 체계 확립'이 아닌 수치가 구체으로 주어진 사례의 해결이라면 저는 결국 산수라고 생각합니다.
뭐 제 멋대로의 생각을 밝힌 것이니 저와 생각이 다른 분들은 댓글로 의견을 써 주시면 좋겠습니다.
아무튼 이러한 저의 생각을 토대로 이후의 내용을 진행해 간다면 다음과 같은 결론이 나옵니다. (당연히 저 혼자만의 생각입니다.)
'직관'으로 무언가를 푼 사람들의 대부분은 십중팔구 '산수'문제를 해결한 것이지 '수학'을 푼 것이 아닐 것이다.
저는 '수학' 그 자체에 대해서는 '푼'다라는 표현이 어울리지 않는다고 생각합니다. 상정할 수 있는 모든 상황과 집행한 논리전개의 전 과정마다
근거를 대가며 샅샅이 '밝혀내는' 것이라고 해야할까요? 이 중에서 특히 '밝혀내는' 이라는 부분이 중요하다고 봅니다.
쉽게 말해 '증명'이 되겠네요. 타인을 납득시킬 수 있는…
따라서 '직관'이 아무리 강해도 그것 만으로는 '수학'의 발전에 전혀 기여할 수 없다. 저로서는 이렇게 결론이 나올 수밖에 없네요.
제게있어 '직관'과 '증명'은 어떤 의미에서는 '상극'인 관계로 보이니까요;; (틀렸나요?)
첫 번째 게시물의 댓글 중 하나에서 따온 그림입니다. 다들 이미 보셨을 겁니다.
지식 / 직관(사실 Insight 는 통찰을 의미하지만) / 지혜 …… 무엇이 무엇이고 무슨 차이가 있는 것인지 정말 이해하기 쉽다고 생각합니다.
'지혜'의 그림을 보시면 '연결 경로'를 명확히 밝혀준 것이 보이시지요? 저 노랑 연결선이 처음부터 끝까지 '끊어지지 않고 이어져' 있음을
보증하는 것이 '증명'입니다. 이 부분이 없으면 얻어진 결과(답이되었든 무엇이 되었든)의 가치는 반감됩니다.
얻어낸 사람만 혼자 알고 설명을 못하는 직관이라… 답 그 자체는 훌륭히 사용될 수 있겠지요. 그 부분에 대한 기본 가치는 건재합니다.
'모로 가도 서울만 가면 된다.'는 우리네 속담이 있군요. 본디 사용되던 의미와는 조금 다른가요?
아무튼 어찌저찌해서 서울에 왔습니다. 어 그런데? 서울에 어떻게 왔는지를 설명할 수가 없네요. 나는 와서 좋은데 가족이 됐든 누가 됐든
다른 사람을 서울로 이끌어줄 수 없다? 주변에 도움이 안되는군요. 타인 혹은 후대에의 전승이 불가능하다? 이 부분의 가치는 증발하였습니다.
결국 '직관'을 통한 해결은 전체 가치가 반감되었다고 볼 수 있겠군요. (설명할 수 있다면 그건 별개지만 그러면 본 게시물의 작성 원인이 사라지죠.)
게다가 '서울'에 갔다 온 후 나는 '서울'에 갔다왔다고 이야기하며 서울을 찍은 '사진'을 주변 사람들에게 보여줄 경우를 상상해 본다면…
이런 일이 벌어지지 않을까 싶네요.
"합성 사진 아니냐?" / "가 봤다는 놈이 지가 갔던 길도 제대로 설명을 못하는데 잘도 믿겠다." / "그럼 서울 옆에 있다는 인천도 갔다와 보시지?"
네 당연히 '사진'은 직관으로 느닷없이 튀어나온 '답 (현재 정답인지 모름)'이고, 기억나지 않는'서울가는 길'은 답을 얻기 위한 해결과정이 되겠지요.
게다가 어찌저찌하여 저 '서울 사진'이 진짜임이 밝혀졌다고 칩시다. 그리고 문제의 그 친구는 정말 손쉽게 '인천'도 갔다 오고 '평양'도 갔다 오고
바다 건너 '제주도'까지 갔다 오며 각 곳의 특산물(매우 유용한 끝내주는 해답들)까지 챙겨와 그 모든 것이 다 사실임을 보여주고 있는데
어떻게 그렇게 동에번쩍 서에번쩍 하는지 설명만 못한다? 그러면 다음 반응은 아마 이렇게 되겠지요? (저도 동감하기에 멋대로 따왔습니다.)
아~ 상당히 곤란해졌군요. 타인에게도 '서울'가는 법을 알려줘서 많은 이들을 기쁘고 행복하게하여 세상에 공헌을 할 수 있다면
세상을 진일보시켜준'천재'라 칭송받으며 온갖 명예를 누릴 수 있을 것인데…, 내 한몸은 '서울이든 어디든' 마음껏 들락날락 거릴 수 있는데
대체 무엇을 어떻게 한 것인지 '납득(증명)'시키기는 커녕 '대략적인 설명(아이디어 제시)'조차 못한다?
상대방으로서는 정답을 저렇게 잘 내는데 설명만 못해? '못하는 건지 안하는 건지?' 일부러 저러나 싶어할 수도 있겠고, 당사자로서는
나는 잽싸게 답냈으면 장땡이고, 저 기타등등(우리네 노멀한 사람들)들은 죽어라고 뺑이치며 아직도 문제 풀고있네? 그나마도 대부분은
틀리고 앉았고… ㅋㅋ 라며 혹시라도 우월감을 피력하거나 한다면? 뭐~ 바로 '괴물' 당첨이죠. 그것도 '혐오스러운 괴물'로…
타인에 비하여 압도적으로 빠른 시간안에 최고 효율로 정답을 뽑아내었는데 그까짓 과정 제대로 안 밝혔다고 오답처리를 받아서
억울함을 느끼신 분은 약과이고 심지어 귀싸대기까지 맞으신 분도 계시던데, 이러면 수학이라는 '과목'을 좋아하게 될 리가 없죠.
'수학'에게는 죄가 없는데…
아~ 쓰다보니 딴소리만 실컷 쓴 것인가? 싶은 느낌이네요.
요점은 '직관'만으로는 죽도 밥도 안된다. 이건 '개인'에게는 큰 장점이자 '축복(그래봤자 시간제한 걸린 시험에서나 좋을 뿐…)'일 지언정
스케일을 너무 크게 잡은 감이 있는지는 몰라도 '인류'라는 '집단'에게 있어서는 큰 의미가 없다라고 생각한다는 것입니다.
타인에게로의 '전파' 혹은 후대로의'전승'이 불가능하니까요.
아! 빗대어 설명하기에 좋은 예시가 있군요. "라마르크의 용불용설" (설명은 생략하겠습니다.)
딴 소리를 쓴 것 같은 김에 조금만 더 써보도록 할께요. 작년부터 대중의 큰 관심을 끌게 된 과학기술 중 하나가 A.I.이지요?
자아를 가진 강인공지능이라는 녀석이 완성되면 얼마 안있어 자체개량을 통해 초인공지능으로 업그레이드 될 가능성이 100%이다.
라는 이야기를 다들 접해보셨을 것이라 생각합니다.
이 이야기를 접한 수많은 사람들이 인간의 수준을 아득히 넘어서는 초지능체가 탄생될 경우 인류멸망은 필연이다.
그런 괴물을 만들어내서는 안된다. 라고들 하지요? 초지능체로서는 이러저러해서 할만하니까 해결했고 이런 결과를 얻어냈다. 고 하겠지만
인간들의 능력으로는 전혀 이해할 수가 없어 곧장 답만 톡 튀어나와보이는 상황…\
네~ 앞서 보았던 그림의 직관(Insight) 그 자체네요. (사실 Insight는 통찰이며 직관과 다름을 다시금 밝힙니다.)
나보다 압도적으로 우수하고, 그렇기에 무엇이 어찌 돌아가는지를 헤아릴 수 없어 통제가 불가능한 '괴물'…
직관력이 강한 사람을 바라보는 주변인들의 시선 속에는, 예시로 든 초지능체에 대한 두려움 혹은 혐오감 정도는 아니겠지만
저런 느낌이 조금이나마 녹아들어있지 않을까 싶네요.
저러한 난처한 상황에 처하고 싶지 않다면, 그러한 감정을 해소시킬 의무는 '당사자'에게 있겠지요.
그러니 결과에 도달한 과정을 최선을 다해 밝히려는 마음의 자세를 반드시 갖추어야 한다고 생각합니다.
최소한… 나의 직관력이 너무 강해서 제대로 납득을 못시키더라도 나로서는 최선을 다해 설명하려고 노력한 것만큼은 전해지도록!
이런 느낌이라도 받게해야 하게 해야하지 않을까요?
그러니, 가지고 태어난 강력한 '직관력'은 마음껏 쓰시되 덕분에 압도적으로 절약하게 된 노력과 시간의 절반만이라도 과연 이것을
'어떻게 설명할까?'에 투입하시길 바라고 '없는 직관력을 부여하지는 못하겠으나 잠들어있을지 모를 상대의 직관력을 깨워줄 방법은 없을까?'도
고민하시길 바랍니다.
위에서 각설하고 본론으로 들어가겠습니다. 라고 해놓고는 뭔가 또 다시 딴소리만 쓴 것이 아닌가 싶어 면목이 없네요.
최종 요약을 하자면…
'직관'가지고 해결할만한 것들은 그것이 초급이든 고급이든 결국 문제 풀이 급 '산수'일 뿐이며
'수학'에 있어서는 '직관'은 도약의 계기(~~~의 추측 등)를 마련할 뿐, 진일보는 처절할 정도의 '논증(풀이과정의 제시)'에서 나온다.
'직관'을 가진 자에게는 그렇지 못한 자에게 최소한 '설명의 노력'이라도 보여야하는 '의무'가 있다.
정도 되겠네요.
재미도 없을 것이 뻔한 저의 글을 여기까지 읽어주신 분들은 이제 제가 준비한 내용의 하이라이트를 맛보실 때가 되었습니다.
본래 이 아래의 내용이 주 목적이었는데 이 소리 저 소리 쓰다가 스크롤 압박만 심해져버렸네요. 죄송하게 생각합니다.
제가 본 게시물을 작성하게된 최종 트리거는 이 분의 댓글이었습니다.
무반응이더군요. 의혹을 제기한 문제를 정공법으로 풀려면 고2 수준은 되어야하니 많은 분들이 풀어보고 검증하기는 쉽지 않겠으나
정답도 아닌데 정답인 양 방송한 것이 사실이냐고 반응하는 사람도 없고… 아무튼 84 라는 분의 말씀대로 정답은 9층 탑 188개 소요 12개 남음 이
맞기에 제게있어서는 프로그램 내용의 신빙성이 꽤나 삭감된 상태입니다. (방송 전체를 보지 못하여 구체적인 파악은 못 한 상태입니다.)
7번 문제라는 문제를 아래에 첨부하겠습니다.
과연 어떻게 해결하였을 것인가? 그리고 그러한 '직관'이 작동하게된 일련의 과정을 정말 설명할 수는 없는 것일까?
저 나름대로 재현을 해보았습니다. 사실 까놓고 말해서 제가 푼 것이지만, 기존 게시물에 달려있던… 풀이과정 없이 눈으로만 풀어서
답을 얻어낸 경험이 있는 많은 분들이 언급했던 '직관' 이라는 것을… 추상적일 수밖에 없는 사전적 의미가 아닌 제가 보여드리는
구체적 예시를 통해 조금이나마 맛보실 수 있기를 바랍니다. 이것이 계기가 되어 누군가에게 조금이나마 도움이 되기를 바라며…
아예 실제 상황을 그냥 그려버렸습니다. 본디 이 문제는 계차수열과 Σ취급법을 숙달하는 과정에서 등장할 문제입니다만
방송에 등장하는 초등학교 3학년 학생이 '직관'으로 즉석에서 풀어낸다면 과연 어떤 식으로 접근할까? 를 제딴에 시뮬레이션(?)한
것이라고 보시면 되겠습니다.
말 그대로 '직관'이 흘러가는 과정을 일일이 쪼개서 늘어놓은 것이니 딱히 설명은 필요 없을 것이라 생각하며 그림 파일들만
연속적으로 보여드리도록 하겠습니다. '직관'이니 말 그대로 그냥 직접 보시기 바랍니다. "척~ 보면 압니다." 이게 직관이니까요.
다 살펴보셨겠군요. 그림 파일을 일일이 쪼개놓았더니 꽤 많아보이지요? 이러한 일련의 과정을 게시물 맨 처음에 올렸던 Moving Gif 파일에
모조리 묶어 담았습니다. 1 프레임에 0.3초 간격 재생으로 만들었는데요. 다시 한 번 감상하시지요.
※ (9×10)＋(10×9)×(9－1) 의 의미를 파악해야 '직관' 풀이가 완성된 것입니다. (직접 생각해 보시길 바랍니다.)
이처럼 도형의 분할 및 이동을 통해 변형시킬지라도 (9×10)＋(10×9)×(9－1) 의 의미를 잡아내지 못하면 결론을 내지 못합니다.
직관이란 것이 말로 설명하기에는 곤란하기도 하고, 그렇기에 직접이든 간접이든 몸소 느껴보는 것이 최고이긴 한데…
이런 특정 사례 하나만으로 전달되기는 힘들겠지요? 그냥 맛보기 정도로 생각하면 좋지 않을까 싶습니다.
어쨌든… 실제로 '직관'이 작동하고 있는 머리 속에서는 아래의 Moving Gif 가 1초 내로 재생 완료 된다고 보시면 좋을 듯 싶네요.
전 게시물의 어떤 분의 댓글에 나온 대로 '읭?' 하는 순간 바로 결론이 뜨는게 '직관'이니까요.
그러면 1초 내에 문제를 푼 것이냐? 고 묻는다면 아니오. 라고 대답하겠습니다. 문제를 읽는 동안 '직관'이 발동할 준비가 은연 중에
되고 있고, 문제를 다 읽는 순간(사실은 문제에 제시되는 정보를 모두 접수하는 순간) 문제를 읽으며 수집해 둔 모든 정보들이
한 큐에 '읭?' 과 함께 '답'으로 혹은 '답을 끌어내는 핵심 논리'로 맞물리며 튀어나오게 되는 것이라 생각하므로
'문제 읽는 시간 + 수 초'
라고 답해야 겠네요. 위에 언급한 ' + 수 초' 부분이 길어지면 길어질 수록 '직관'에서 '통찰'로 넘어간다고 생각합니다만
직관과 통찰의 차이에 대한 저의 견해까지 언급하는 것은 무리라 생각하므로 패스 하겠습니다.
아래의 문제도 '직관'으로 한 방에 해결 가능한 문제입니다.
4천 승이 됐든 4억 승이 됐든 그것은 크게 중요하지 않습니다. 9를 거듭제곱 했다는 사실과 3817자리 수임을 밝혀준 것 처럼 몇 자리 수인지만
밝혀준다면 결론은 아래에 보이는 '오유찬 어린이'의 풀이 및 정답처럼 순식간에 정답을 끌어낼 수 있습니다.
대체 무엇을 어떻게 캐치했길래 저 어려워보이는 문제를 순삭 시켰냐고요? 요점은 이것입니다.
문제가 묻고있는 답을 구성하는 요소들의 특징들… "왼쪽 첫 자리 수가 9인 것들"
8이나 7 등으로 시작하는 것들이 아닌 9로 시작하는 놈들에게 무슨 비밀이라도 있나? ← 이것이 강력한 힌트 입니다.
아~ 그런데 글이 너무 길어지고 작성에도 한 세월 쏟아부어서 지금 상당히 피곤하고 힘드네요;;
따라서, 여기서 마무리 짓도록 하겠습니다.
혹시 지금
'읭?'
하셨나요?
그렇다면 제가 글 쓰다가 도망(?)간 것을 '직관'적으로 파악하신 겁니다. ㅎㅎ
이로써 '유머게시판'에 어울리는 글이 되지 않았을까? 라고 생각해보며
쓰잘데기 없이 길기만 한 본 게시물을 마무리 짓겠습니다.
읽어주셔서 감사합니다.
※ 9의 4000승 문제는 댓글에 풀이를 달든가 하겠습니다. (진짜 피곤해서 갑니다. ㅋㅋ)
인공지성에 대한 혐오는 그들이 스스로를 죽이면서까지 힘을 얻고 그 힘을 제 나름대로 내린 판단에 따라 휘두르는데 인간과 다르게 특정 방법을 제외하고선 속내를 알 수 없으며, 갖춘 힘마저도 무시무시할 만큼 크기에 나오는 것입니다.
9^4000승 문제는 9^0=1, 9^1=9, 9^2=81 까지만 생각하고 첫째자리가 1 9 8 7 6 5 4 3 2 순으로 반복하는거 아냐? 간단하네?
라고 생각 했다가, 사진의 풀이를 보고 제가 핀트를 잘못 잡았다는걸 눈치챘네요.
문제 풀이는 간단하지만, 아이디어를 캐치하는게 쉽지는 않은문제군요.
10의 제곱수는 당연히 지수=자릿수가 됩니다.
9의 제곱수는 지수=자릿수가 되지 않지만, 상당히 근접하게 되겠죠.
웬만한 수는 9를 곱하면 자릿수가 늘어버리니까요.
그런데 어떤 조건에서는 9를 곱해도 자릿수가 늘지 않습니다.
9^0,=1, 9^1=9에서 알 수 있듯이, 어떤 수에 9를 곱해서 왼쪽 첫째자리수가 9가 되기 위해서는
어떤수의 자릿수는 어떤수에 9를 곱한 수와 자릿수가 같아야 하며, 왼쪽 첫째자리 수가 1이 되어야 합니다.
즉, 이 조건을 만족했을 때는 9를 곱해도 자릿수가 늘어나지 않는다는 거죠.
따라서 9의 4000승이 3817자리라는 것은 4000-3817=183번 자릿수가 늘어나지 않았다는 것이고,
그때마다 왼쪽 첫째자리는 9였다는 이야기가 됩니다.
이때 주의할 점이 자리수는 0이 아니라 1자리수부터 시작한다는 점입니다.
예컨데 9^0=1, 9^1=9 에서 알 수 있듯이 9는 1자리수인데 지수는 1이므로, 1-1=0으로 계산하면 오답이 됩니다.
따라서 자릿수가 늘어나지 않은 횟수는 183회가 아니라 184회이고,
9로 시작하는 원소의 수는 184개.
수학엔 젬병이라............ㅜㅜ
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이과가 또.....
정성글은 추천!
문과 출신이며 철학에 발가락을 담갔던 자로써 수학과 산수의 차이를 이 나이 먹어서 알게됐군요; 제가 수학점수가 영 좋지않았던 원인도 알게됐습니다;(공식은 숙지했으나 문제가 요구하는 바를 몰라 적용이 안됨ㅠ)
생각해보면 현대에도 고대 그리스와 같이 화이트헤드 처럼 수학자이자 철학자인 사람이 있죠 수학이 현실을 증명하는 논리적 영역이라면 철학은 현실을 어떤식으로 바라볼것인가 인지하는 논리적 영역이니까요 직관을 어떻게 생각할것인가는 이미 칸트가 얘기했던거 같은데..공부한지 오래되어서 '순수이성비판' 단어만 생각나네요ㅋㅋ;
글 잘봤습니다
산수와 수학 비교를 이해하기 힘들게 적으셨는데
산수는 말 그대로 숫자를 계산하는 것이고,
수학은 말 그대로 숫자에 대한 학문이라고 설명하셨으면 이해하기 편했을 겁니다
미적분 공식을 열심히 외워서 미적분을 풀어나가는게 산수고
미분은 그냥 나누기고 적분은 그냥 곱하기 라는 것을 이해하는게 수학이라고 봅니다
수학이 무엇인지 이거보고 개념이 좀 잡힘
바쁘면 2분 26초부터
https://youtu.be/yMQncICQFYs
예전 수학교육 교수님은 아이들에게 수학적 직관을 길러줘라 라고 하던데 이 글은 반대네요
저도 동의해요 ㅋㅋㅋ
문제 빨리 푸는 것이 꼭 수학을 잘하는 것으로 연결되진 않더라구요.
죤...나....
어휴 하필 이름이 "오유"찬 이라니.......
끄아...진짜 선생님다운 게시물이다....
이과 다 죽었으면 ... (철푸닥)
털썩..
문과생 한명 지나갑니다
좀 다른 이야기지만.. 아까 이 문제에서 굳이 대칭 단계가 필요한지 싶네요. 대칭을 생각하는것도 귀찮은 문제고 이런식으로 푸는게 더 간단할것 같아요.
제가 수포자가 된 이유를 말씀드리자면, 저도 사실 미분 적분을 암산으로 풀었습니다. 초 중고등학생때까지 쭈욱 수학을 암산으로만 풀어왔으니 그게 습관이 돼서 고칠수가 없었습니다. 그러다 어려운 응용문제들에 부딪혔을때 제 암산으로 커버가 안되는 내용이 나오니까 흥미가 팍 떨어지더라구요 기본 문제만 맞추고, 그 이후 좋아하는 공부만 하다보니 수학책은 쳐다보지도 않고 살았습니다.
학문적 발전은
통찰로 나온 답까지 가는 길을 그리는 작업이라고 생각하면 쉽지 않을까 싶어요
문과출신 수학강사 또여깄습니다. 저희학원에 방학알바로 카이스트출신강사를 잠시썼는데....애들한테암산을하라는둥 암산으로 풀어서 설명하는둥 뭐하는 사람인가했네요ㅎㅎ 그분이생각나는글이었네요~
글을 보면서 선행학습이 이런 직관을 키울 수 있는 경험들(데이터에서 정보를 모아서 통찰을 통해 지혜로 이르는 과정)을 싸그리 무시하고 공식과 해법위주로만 나아가는거라 위험하다는 생각이 들었네용.
좋은 글 감사합니다.
정성글 잘 읽었습니다.
논점과 살짝 틀어지는 코멘트이긴 하지만,
한 유저가 언급한 괴물이라는 단어는
통제하기 어려운 대상, 비범함에서 오는 두려움이나 혐오....라는 느낌 보다는
일반인의 능력을 뛰어넘는, 경이로운... 과 같은 뜻에 더 가깝지 않을까 싶네요.
신기하고 대단한, 보통 사람보다 뛰어난 역량을 가진 친구들에게 단순히 "괴물같은 녀석"이라고 지칭하는 것처럼요.
괴물이라는 단어에 너무 깊게 파고드신 것은 아닌가 싶어서 적어보았습니다.
덧붙여, 논리보다 직관이 떨어지는 저로서는, 저 학생의 풀이 역시 대단하다고 느껴지네요.
수많은 계단을 훌쩍 뛰어넘어 고지에 도달하는 그 능력이 요즘 제게 절실하게 필요하더라고요.
작성자님의 배경이(직업, 환경 등) 저와 다르기 때문에 풀이과정에 대한 견해 역시 다르다는 점 충분히 인지하고 있습니다.
수학과 밀접한 관련이 있는 작성자님은 영재를 통해 저보다 더 많은 것이 보이겠죠.
저는 훈련을 통해서 직관을 깨우치는 것보다 논리를 습득하는 것이 더 수월하다고 개인적으로 생각하는데요.
그런 면에서 저 학생은 노력으로 더 많은 발전을 이룰 수 있을 거라고 생각합니다.
어쨌든간에 대단한 학생임은 분명하네요. 부럽습니다 하하.
직관과 암산은 약간 다릅니다.
암산은 직관일 수도 있고, 과정을 빠르게 두뇌속에서 계산 한 것일수도 있습니다.
암산으로 풀었더라고, 그 풀이과정을 설명할 수가 있고, 그 방법을 쓰면 다른 사람도 정확하게 풀이할 수 있고
그 풀이과정이 특정한 상황만이 아닌 일반적인 상황도 다 적용이 된다면 훌륭한 학문 혹은 수학이 될 수 있습니다.
저 아이가 암산으로 풀었는데, 단순히 그 풀이과정을 보여주지 않았는지
아니면 특정한 상황에서만 적용되는 방식이었느지를 정확하게 알아보는 게 중요합니다.
저도 문과 수포자의 입장에서...
초딩5학년 때 산수경시대회를 나갔었죠... 쪼그만 지역이지만 나름 예선을 통과하고 본선을 갔는데... 본선에서는 식을 요구하더라구요. 예선에서는 식을 쓰라는 게 없었거든요. 그래서 지역에서 2등이었는데... 본선에서 털렸죠.
나중에 체크하니까 답은 80%를 맞췄는데... 식을 쓴 게 반도 안됐어요. 그래서 식 안쓴 건 죄다 감점처리...
식 쓰는 게 너무 싫어서 중3 인수분해 이후로 수학을 접었어요.
중학교 때 까지도 식 안쓰고 문제를 거의 맞춰서 중딩 이후로 못만난 친구들은 제가 수학자가 되었을 거라고 생각하더라구요.
아예 포기하니까 예전엔 식은 안써도 답은 어떻게 알겠던데 그것도 안되더군요.
그래서 고딩땐 수학을 전교에서 300등 밑에서 놀았어요. 선생들이 아무리 갈궈도 그냥 마음이 떠버려서 아예 보기도 싫더라구요.
그래도 수능은 봐야해서 (그래도 수능엔 식을 안쓰니까...)수능용으로 어찌어찌 대강 중학교때 배운 거 돌려서 풀 수 있는 문제만 다 풀었어요.
저 아이한테 식을 쓰라고 하기 시작하기보다, 식이 아닌 다른 방식으로라도 설명할 수 있게 하는 게 중요한 겁니다. 논리적인 식으로 정리하는 건 아주 천천히 배워도 돼요.
IQ156멘산이고 외국계엔지니어고 학교다닐때 영재반이었고 올림피아드는 준비만하고 못나갔지만.. 그리고 결국엔수포자가 되었습니다만..
글쓴님 말도 맞지만..직관또한 수학에 지대한 발전에 이바지한겁니다.
증명을 한 직관만이 필요한게 아니라 직관이 먼저 되고 증명이 되는거죠. 한마디로 계산기가 아무리 슈퍼컴이면 뭐합니까. 직관이없으면 발전이 없는거에요. 그 직관이 맞느냐 틀리느냐를 증명하면서 더 발전해 가는거구요.
예를들면 위 문제처럼 이럴거 같다고 생각하는 사람이 새로운 해법을 내는거지 정석으로 풀이를 증명하는 사람은 오히려 기존의 방식을 깨지못해요.
제가 참 글을 못써서 표현하긴힘든데.쉽게 설명하면 님이 쓴 수학이란것도 작은 직관들이 증명하는 과정을 거쳐 인증받은 풀이들이 수학이 되는거죠.
사실 우리가 기억하는 천재들은 그 직관이 비상한 인간들이지 풀이를 잘하고 이해를 잘시키면 연구원 선생 교수 정도 밖에안되는거죠 물론 직관만 가지고 있으면 그냥 일반인일거구요.직관+능력이 있는데 능력은 노력으로 될지언정 직관은 힘들죠. 그래서 솔직히 저런 애들이 풀이도 잘할수있도록 교육 하는게 필요하다봅니다.
직관이 있는건 천재가 맞아요.